setaIntrodução

seta

 

 


 

 

setaA Representação Gráfica e a Geometria 

A descrição com o objectivo de interpretar, analisar e principalmente estabelecer modos de intervenção no relacionamento dos espaços implica uma atitude de representação gráfica, caracterizada por uma simbologia e consequentemente uma linguagem próprias.

A “métrica” da “geos’, numa referência ao étimo do termo Geometria, é precisamente a medida (métrica) que como quantificação de dimensões, distâncias, etc. implica a exactidão no relacionamento das formas e dos elementos que as definem perante uma dada referência (referencial) e que constituem os espaços (geos) existentes ou a criar, e em que vivemos.

A representação gráfica que se manifesta como a mais antiga forma de registo e comunicação de informação, embora tendo conhecido diferentes modos de apresentação, nunca foi substituída efectivamente por nenhum outro.

Não obstante o aparecimento e desenvolvimento de outros meios de comunicação, desde o surgimento da escrita, até aos que a evolução tecnológica proporciona, a representação (gráfica) de imagens ainda que de uma forma cada vez mais sofisticada prevalece e assume lugar de destaque no âmbito da comunicação.

Conceito extremamente amplo, a representação gráfica envolve assim e paralelamente as diferentes técnicas de produção, de diferentes linguagens conforme o domínio em que é utilizada e os objectivos a que se destina.

Desde as artes plásticas até ao processamento de imagem de satélite, passando pela fotografia, pelo vídeo, pelo desenho manual ou por meios informáticos e (caso do Desenho Técnico) sujeito ou não, a convenções de linguagem previamente estabelecidas, a representação gráfica é a atitude subjacente que permite o registo de toda a simbologia gráfica que possibilita a comunicação.

E é bem conhecida a enorme importância do efeito de persuasão: A imagem como que substitui o objecto a que se refere, e o seu impacto ultrapassa qualquer tentativa de definição verbal ou escrita.

                       

De facto a imagem assume-se como um intermediário entre o indivíduo e a realidade física em que se insere. Jean-Paul Sartre salientava a ideia de que a imagem para além da impressão de ser o “objecto” reproduzido tende a fazer-se passar por ele próprio.

Importa no entanto e desde já, referir que numa outra perspectiva a observação de uma imagem com funções de carácter operativo passa a ser “lida” pela representação de propriedades e características particulares, especialmente métricas, para efeito da sua concretização, realização, fabrico, execução ou construção.

De resto, é elementar o “fazer um boneco” quando se pretende ilustrar uma ideia a comunicar. Principalmente se estão envolvidos conceitos de espaço e de forma, então o “boneco” estará algo próximo de um desenho que obviamente coloca em jogo uma relação geométrica entre os elementos que definem as formas a representar.

Neste âmbito e ao longo de todo o texto, a utilização da expressão “Representação Gráfica” refere-se estritamente à representação gráfica capaz de descrever e analisar informação de carácter operativo e geométrico e suas aplicações, e restringe-se ao tipo de simbologia gráfica que lhe é inerente.  

 

 


 

 

setaGeometria Projectiva. Para quê?

Diferentes modos compreendendo diferentes meios materiais e técnicas possibilitam a representação dos elementos constituintes das formas, mais concretamente dos objectos.

Os modelos ou maquetes são um modo bem conhecido de representação, por antecipação ou não de formas ou objectos. Constituem como que uma réplica do real embora com diferentes dimensões e diferentes materiais.

Neste âmbito assume especial importância a relação entre as várias dimensões dos elementos que definem o modelo e a relação entre a dimensão, segundo a mesma direcção, do objecto: essa relação deverá ser precisamente a mesma, sob pena de se estar perante um modelo que quando muito poderá ser “parecido” com o real, dada a distorção com que um se apresenta em relação ao outro.

 

Para o efeito deverá ser considerada uma relação linear entre cada dimensão, segundo a mesma direcção, do modelo (Fig. 1). Obviamente que esta relação é, em princípio, a mesma entre quaisquer outras direcções homólogas do objecto e do modelo.  Ver-se-á como pode ser vantajosa em alguns casos a representação com diferentes relações para cada urna das direcções em questão. Esta relação designada escala é fundamental em qualquer tipo de representação. No entanto, a obtenção de um modelo ou maquete implica demasiados morosidade e custo e fundamentalmente iguais morosidade e custo por cada modificação que se pretendesse, o que a torna impraticável de forma corrente.

Fig. 1- Factor de escala

 

Ao problema da representação em geral, é a representação gráfica que responde eficazmente

É a representação gráfica que permite idealizar, registar, alterar, relacionar, em suma projectar urna dada forma ou objecto, num período de tempo que os actuais meios tecnológicos vão permitindo cada vez mais de imediato. De resto, a execução do modelo ou “maquete” pressupõe a existência prévia do respectivo projecto obviamente de carácter gráfico, o que à partida a torna num contra-senso como o meio de representação da relação dos elementos geométricos que definem um objecto. De facto o modelo ou maquete limita-se a criar um impacto visual qualitativo e em geral lúdico com outros fins, nomeadamente publicitários e de “marketing, do que de análise e concepção com carácter operativo.

De notar ainda que as próprias ciências naturais baseiam na representação gráfica os instrumentos das suas pesquisas quer por observação directa. quer incrementada a partir da utilização de instrumentos capazes de tomar visíveis e mensuráveis fenómenos de outro modo imperceptíveis (Fig.2).

É frequente a utilização de linhas e sinais como meio de ilustrar relações entre parâmetros e entidades intervenientes num dado fenómeno, natural ou não, no sentido de descrever conceitos abstractos, resultantes de um trabalho intelectual que com base em dados de carácter preceptivo permite formular hipóteses sobre o funcionamento de fenómenos e posteriormente confirmá-los a partir da geração iterativa de novos dados.

 

A atitude da representação gráfica na Geometria, baseia-se ria necessidade de evidenciar a propriedade métrica dos objectos a representar com o objectivo de permitir actuar sobre um conjunto de acções nomeadamente de projecto, montagem, construção, bem como deslocação, definição de percursos, localizações, etc, referentes á relação operativa de transformação por adaptação sucessiva do ambiente à sua interacção com o homem.

 

Fig. 2 - Representação vectorial de um campo de velocidades (recursos a linhas e sinais gráficos)

 

Em geral, trata-se de representar de forma inequívoca a duas dimensões (2D), aquilo que existe a três dimensões (3D). Do ponto de vista matemático trata-se de uma aplicação de R3 em R2.

 

Do ponto de vista geométrico trata-se de uma projecção geométrica plana — uma representação num espaço a duas dimensões que contenha a informação capaz de permitir inferir a relação tridimensional entre os elementos do objecto representado.

O conceito de projecção geométrica plana e que designaremos simplesmente projecção (essência do acto de projectar) é um conceito fundamental do Geometria e no qual as aplicações e procedimentos ao nível do Desenho Técnico assentam, independentemente da instrumentação utilizada.

As bases para a sua compreensão e utilização, é o assunto que nos irá solicitar toda a atenção.  

 

 


 

 

setaGeometria: Aspectos da Evolução Histórica

Uma noção mesmo que muito global da evolução histórica da Geometria é imprescindível, ainda que não seja a História da Geometria o presente objectivo.

De resto, a História da Geometria, (se assim se pode chamar!) é um assunto de tal modo vasto quer em si mesmo quer pela interacção com quase todos os domínios do conhecimento, que saíra completamente fora deste âmbito.

É um assunto que resulta da observação do Universo e da sua relação espacial com o Homem. Por isso ele fala de nós...

E de facto, a geometria nasce pela necessidade de medir e de conhecer a Forma.

Desenvolve-se desde o segundo milénio a.C. no Egipto e na Babilónia associada à medição das cheias do Nilo, mas a sua fundamentação  inicia-se na Grécia com Tales de Mileto (Teorema de Tales). Mais tarde no séc. VI a.C. os pitagóricos, também matemáticos e geómetras, escolhem o número dez (tetratys) como chave do universo e interpretam o mundo físico de forma discreta e consequentemente numérica.

Mas é com os elementos de Euclides (séc. III a.C) que a geometria se define como ciência, de natureza dedutivo-matemática fundamentada em definições, axiomas e postulados permitindo a elaboração de teoremas. A geometria de Euclides que permanece sem alterações até ao séc. XIX. constitui-se desta forma corno um primeiro modelo de construção matemática e constitui a designada Geometria Elementar.

No entanto alguns problemas geométricos corno o da duplicação do cubo, a trissecção do ângulo e a quadratura do circulo terão levado, provavelmente os gregos, a estudar as cónicas, estudo que seria retomado por Decartes no séc. XVII, com a Geometria Analítica, depois continuada por Fermat.

A Geometria Analítica permitiu uma representação formal das propriedades das figuras geométricas em termos de quantificação de dimensão o que implica o conceito de medida (propriedades métricas), através da definição de eixos e coordenadas.

Também o estudo das cónicas iniciado pelos gregos e desenvolvido por Desargues (1593/1662) e Pascal (1623/62) veio preceder a constituição da geometria projectiva onde o domínio da perspectiva se revela fundamental.

A Geometria Projectiva ocupa-se das propriedades projectivas ou gráficas das fíguras, em oposição às propriedades métricas. Tem como elementos fundamentais o ponto, a recta e o plane, e como operações fundamentais a projecção e a intersecção, que visam definir e articular a noção de espaço projectivo. Foi também esta geometria que permitiu definitivamente o abandono de noções intuitivas acerca do espaço como acontecia com a Euclidiana, ao introduzir o conceito de espaço regrado estabelecido a partir de regras do espaço, e viabilizando a partir de então o desabrochar de variadas concepções de espaço, até à actualidade.

E embora a formulação do número irracional viesse incompatibilizar as exigências de comensurabilidade definidas no teorema de Pitágoras o problema é ultrapassado pela metodologia de resolução proposta pela Geometria Euclidiana, e é no séc. XVII que se verifica a sua reconciliação com a teoria dos números, por recurso à Análise Matemática.

Seria este passo que mais tarde e já no nosso tempo, permitiria o desenvolvimento das técnicas de registo e processamento de imagem com base na área científica da Computação Gráfica emergida na segunda metade do séc. XX, por tratamento em meios informáticos de informação de natureza gráfica, conduzindo à constituição e desenvolvimento dos sistemas CAD e por consequência a reformulação das metodologias e procedimentos, designadamente ao nível do Desenho Técnico, não obstante, sem que nada se perdesse quanto aos conceitos fundamentais, ancestrais inclusivamente,  que o suportam.

Também no âmbito da Cartografia se distinguiu Pedro Nunes, que no Tratado da Esfera (1537) desenvolveu amplamente o estudo geral sobre super­fícies curvas, mais tarde ampliado como forma superior de Geometria Analítica e que constituiu as bases da Geometria Diferencial.

Por sua vez, também a Topologia a partir dos trabalhos de Euler em 1736 se constitui como ciência, debatendo-se com problemas geométricos ao estudar as propriedades das figuras invariantes perante uma transforma­ção biunívoca e bicontinua, (Geometria da Continuidade).

Em 1799 Gaspard Monge (1746/1818) desenvolve e apresenta a Geometria Descritiva cujo objecto se fundamenta na representação plana (em 2D) de figuras existentes no espaço (em 3D). Recorre a vários métodos como a geometria cotada, a representação axonométrica e a representação cónica.

O âmbito da Geometria Descritiva assenta na resolução, até então inviável, da possibilidade de desenhar no plano e de forma inequívoca formas do espaço, e por conseguinte resolver problemas gráficos de representação de formas espaciais com particular interesse para a Arquitectura.

Ainda no âmbito da problemática do espaço, poder-se-á afirmar que a Geometria retoma a sua génese, e é precisamente neste sentido que várias personalidades da ciência se debruçam sobre a validade do postulado de Euclides. São de destacar Lobatchefsky (1793/1856) e Riemann (1826/1869), criando as chamadas Geometrias Não-Euclidianas em que a noção de espaço é mediada, isto é pensada.

São ainda estas novas geometrias que possibilitam uma evolução fulcral na física e na matemática da nossa era, nomeadamente no que concerne o fundamento da Relatividade de Einstein, (1879/1965), mas ainda outros domínios de grande aplicação têm vindo a ser desenvolvidos, sendo de mencionar a Teoria das Curvas de Jordan, (1838/19221, vocionada para o estudo das superfícies não planas.

Outros autores como Klein (1849/1925), Sophus Lie (1842/1899) e Elie Cartan (1899/1961) contribuem para a questionação do próprio objecto da Geometria, interpretando a Geometria nos seus diversos métodos á luz da Teoria dos Conjuntos.

Posteriormente Hilbert vem definir em 1899 a Geometria Racional que supõe uma concepção totalmente abstracta da geometria, desligada da representação gráfica e em plena associação com a Algebra, e introduz a noção fundamental de espaço vectorial, que mais uma vez na história do conhecimento humano vem possibilitar o conceito e fundamentação do espaço e do infinito. Passa também por aqui o desenvolvimento da já mencionada relativamente recente área científica da  Computação Gráfica a que se aludiu.

 

 


 

 

setaA Representação em Geometria: sua visualização 

A atitude de Representação Gráfica no âmbito da Geometria e consequentes aplicações requer um modo de a registar no sentido de a tornar "visível".

No conceito geral de Representação Gráfica apresentado muitas as possibilidades quer no domínio dos suportes, desde a madeira ou pedra até ao tubo de raios catódicos (CRT: vulgo écran de monitor ou TV), passando pelas telas, papéis, chapa fotográfica. etc.; quer no domínio dos instrumentos de impressão desses suportes desde o lápis, até á impressão electrónica, passando pelas tintas, acrílicos, emulsões químicas, emissão de partículas atómicas, etc.

No âmbito do Desenho Técnico como atitude de representação plana de elementos geométricos importa em larga medida o rigor da representação. É esse rigor que constitui um contributo fundamental para o carácter inequívoco que se exige à representação geométrica como identificação de elementos bi e tridimensionais.

O recurso e materiais e instrumentos adequados constitui uma condição inicial do trabalho inerente a este assunto sendo, basicamente, de considerar, as seguintes possibilidades:

 

— Materiais e dispositivos de suporte: 

Papel

Écrans (CTR, cristais líquidos)

— Materiais e instrumentos de impressão:

Lápis e canetas

Periféricos de impressão associados a um computador :

Impressoras, plotter, etc.

susceptíveis de uma redefinição em dois grupos:  
— Materiais tradicionais: Lápis, canetas e acessórios do tipo réguas e esquadros (em completo desuso)
— Dispositivos Informáticos: Computador, “Software" adequado e periféricos.

 

 


 

 

setaTendências Actuais do Modo de Representação  

  

Informática e Geometria

Ao desenvolvimento da Informática na década de 70 seguiu-se o surto espectacular a partir do inicio da década de 80, em nossa opinião, devido a dois aspectos fundamentais: 

A diminuição de custo e de aparato dos sistemas informáticos, simultâneo ao aumento das capacidades de processamento;

A maior facilidade com que passou a ser possível processar informação gráfica simultânea ou não ao processamento de informação alfanumérica.

 

Para além das características de utilização da Informática em geral, nomeadamente a capacidade de registo e acesso à informação que o domínio da representação gráfica passa a poder compartilhar, assume importância primordial a possibilidade de manipulação interactiva e em tempo real (no instante em que se deseja, ou quase!) das imagens. Trata-se por conseguinte  de uma utilização em termos de simulação, de diferentes visualizações do objecto representado, para cada relacionamento com o observador.

A utilização dos recursos da Informática associada à representação gráfica e em especial no âmbito do Desenho Técnico, apresenta importantes vantagens relativamente aos materiais e instrumentos tradicionais:

 

- A facilidade de registo e acesso.

- A transposição fácil e rápida de representações gráficas anteriores para novas representações aquando da sua concepção e elaboração.

- A modificação: deslocamentos, variações de escala, eliminação, acrescento e inclusão de novos elementos gráficos a um desenho em execução ou por sobreposição de vários desenhos ou parte destes.

- A simulação de diferentes modos de representação no sentido de ser obtida a representação final mais conveniente; como resultado de diferentes visualizações aquando da elaboração e concepção de uma forma ou objecto.

 

A sua importância em termos práticos tem conduzido a ampla investigação e desenvolvimentos nos últimos anos, e por conseguinte a uma redescoberta da própria Geometria e da sua cada vez maior relação com outras Ciências.

Surge assim um novo domínio de conhecimento, resultante da multidisciplinaridade científica que envolve os domínios da Matemática, da Geometria e da Informática — a Representação Gráfica Computacional ou mais no sentido mais estrito que aqui interesse a já mencionada Computação Gráfica, cujo objecto se constitui no tratamento informático de informação gráfica.

 

Computação Gráfica

No âmbito da Representação Gráfica Computacional interessa considerar sobretudo a Computação Gráfica cujo objectivo é o estabelecimento de algoritmos de identificação e representação de formas que passem a constituir bases de dados, e de algoritmos de manipulação dessas formas a partir do acesso a essas bases de dados.

 

Na Fig. 3 exemplifica-se uma utilização desta sequência de procedimentos para a peça ai apresentada, por utilização de um algoritmo de computação gráfica implementado em equipamento informático adequado.

                       

 

 

Fig. 3 - Diferentes representações de um objecto, processadas em computador  

 

Estas representações não são mais que diferentes visualizações da mesma peça sucessivamente sujeitas a uma projecção plana. Os algoritmos para a sua obtenção operam numericamente sobre as bases de dados referentes a uma matriz (Quadro) de coordenadas e a uma matriz de topologia (*) envolvendo Transformações Geométricas relativamente simples.

 

(*) — A matriz de topologia estabelece o modo como se ligam os vértices da peça. Por outras palavras, que vértices constituem as extremidades de uma aresta, descrita em cada linha dessa  matriz.

 

Os sistemas CAD

A cada vez mais generalizada utilização de sistemas de Projecto Assistido por Computador — CAD (Computer Aided Design), como auxilio à concepção e projecto nos vários domínios da Engenharia — Civil, Mecânica, Têxtil, Electrotécnica e da Arquitectura, tem constituindo um impulso sem precedentes ao nível do Desenvolvimento Industrial, da Educação e da Investigação. São uma aplicação prática e directa do desenvolvimento do desenvolvimento da área científica da Computação Gráfica, e a este desenvolvimento nenhuma forma de abordagem do Desenho Técnico poderá por razões de inerência, ficar alheia.

De um modo sucinto, um sistema CAD consiste num programa que apresenta um conjunto de comandos específicos para operações de desenho (traçado de linhas, círculos, quadriláteros) e sua manipulação (ampliação, deformação, mudanças de escala, cópias, transacções, etc).

Estes comandos estabelecem com o utilizador um “interface” directo e fácil. de acesso ao desencadeamento de cada algoritmo ou algoritmos de computação gráfica do tipo descrito

O desenvolvimento de algoritmos dirigidos a procedimentos de desenho e operação em actividades específicas permite definir comandos especificamente dirigidos a operações frequentes desse domínio, e a constituição de sistemas CAD particularizados. Citam-se como exemplos:

 

- Os Sistemas CAD capazes de responder directamente à optimização da configuração do corte de uma peça de tecido em várias partes, em consonância com as componentes de uma peça de vestuário (indústria têxtil).

 

- Os Sistemas CAD capazes de determinar sombras de objectos e intersecções de superfícies com apresentação tridimensional (Arquitectura).

 

Quer sob a forma de algoritmos de Computação Gráfica, cuja utilização requer maior conhecimento e especialização ao nível de Geometria e de Programação, quer sob o “make-up" mais ou menos simpático com que os sistemas CAD incluem os algoritmos e os apresentam de uma forma susceptível de utilização ao nível do Desenho Técnico sem requerer grandes conhecimentos de Informática ou de Geometria em termos de  formação científica, é no entanto obviamente indispensável uma dada configuração de equipamento adequada e o conhecimento mínimo de Desenho Técnico ao nível do que se constituiu o principal imperativo de conhecimento neste domínio e para o que este "sítio" se espera ser um contributo: A aprendizagem e o desenvolvimento da capacidade de visualização em 3D a partir da representação em 2D.

 

 


 

 

setaModos de Representação e Apresentação. Normalização

A representação gráfica no âmbito que aqui será entendida, e independentemente das técnicas com que é “produzida” tem como se referiu um duplo objectivo.

Por um lado, a descrição para efeitos de análise e Interpretação da rela­ção dos elementos geométricos que constituem as formas.

Por outro lado a apresentação de uma descrição ou representação co­mo resultado dessa análise ou como um conjunto de indicações de como se pretende vir a alterar as formas ou intervir nos espaços existentes ou de tomo se pretende vir a criar e produzir formas ainda inexistentes.

Se no primeiro caso se trata do recurso a aspectos de ordem conceptual e para os quais a simbologia e técnicas de representação podem ser mais ou menos subjectivas, no segundo caso trata-se de estabelecer directivas e resultados com capacidade de comunicação e portanto dotadas de ca­racterísticas de linguagem mais generalizada. Assim, e para além do rigor e da precisão já referidos, há que conjugar atitudes de carácter subjectivo do autor que procede a uma representação baseado num conjunto de regras e convenções que a universalizam tornando-a inequivocamente legível por qualquer entidade ligada de algum modo ao circuito conceber­projectar-apreciar-executar-obter.

No primeiro caso insere-se a Geometria e em particular a Geometria Projectiva, que aqui se apresenta ao nível de esclarecimentos pontuais e de leitura opcional  no contecto do Desenho Técnico, a partir de ligações "links" disponibilizados ao longo do texto.

No segundo caso inserem-se todo o  Desenho Técnico como objecto fundamental deste "sítio".

Resultado de acordos estabelecidos por organismos Internacionais de Normalização com base em sugestões e propostas de utilizadores da representação gráfica como meio de comunicação de ideias ao nível da Arquitectura, da Engenharia e da Indústria em geral, as Normas e neste caso as Normas de Desenho Técnico constituem assim a formalização dos elementos de linguagem, indispensáveis em conferir a capacidade de comunicação que uma peça desenhada deve inevitavelmente possuir.

O Desenho Técnico, que se refere ao modo “normalizado” de representação em 2D da relação entre elementos geométricos de formas existentes ou a existir em 3D, reportar-se-á sistematicamente a estes documentos com os quais também toda a exposição de assuntos  estará conforme.

seta